Производные показательной фукнции

Объяснение. Графики показательной функции изображались в виде гладких линий (т.е. без изломов), к которым в каждой точке можно провести касательную. Но существование касательной к графику функции в точке с абсциссой равносильно её дифференцируемое в х⁰. Поэтому естественно предположить, что во всех точках области определения она дифференцируема. Нарисуем несколько графиков функции у=а^х для у=2^х, у=З^х, у=2,З^х (Приложение №1)

Проведём к ним касательные в точке с абсциссой . Касательные расположены к графикам различны. Измеряем углы наклона каждой из них к оси абсцисс и убеждаемся, что углы наклона этих касательных приблизительно равны 35°…51°, т.е. с увеличением а угловой коэффициент к графику в точке М(0;1) постепенно возрастает от tg35 до tg51.

Существует такое число, болышее 2 и меньшее 3, что показательная функция у=а^х в точке 0 имеет производную равную 1. Основание этой функции принято обозначать буквой е. Число е иррационально, и поэтому записывается в виде бесконечной десятичной дроби

e ≈ 2,7182818284…

С помощью ЭВМ найдено более 2 тысяч десятичных знаков числа е. Функцию называют экспонентой.

Теорема 1. Функция дифференцируема в каждой точке области определения и

— натуральный логарифм по основанию е. , ,

Теорема 2. Показательная функция дифференцируема в каждой точке области определения и

Примеры:

1. ,
2. ,

Решите задание:

А)

Б)

В)

Г)

Вопросы:

а) Чему равна производная функции ?

б) Какую функцию называют экспонентой?

в) Определение натурального логарифма.

Домашняя работа: Найти производные функций:

1. у’= (3 е^х)’
2. у’= (е ^5х )’
3. у’= (3 — е ^{х )} ‘
4. у’ = (5 е ^{– х} – х² )’